7 numere la fel de cool ca si π (pi)

2018 in Stiinta

In data de 3/14 sarbatorim Ziua Internationala Pi, dar ar fi irational sa negam faptul ca exista numere cel putin la fel de interesante ca rezultatul diviziunii dintre circumferinta si diametrul cercului. Iata alte 7 numere ce merita toata dragostea si atentia noastra:

1

Indubitabil, numarul singuratatii, 1 este cel mai mic numar intreg diferit de 0 ce manifesta o remarcabila auto-suficienta matematica. In afara faptului ca este primul numar intreg, este propriul patrat, cub si factorial. E si extrem de incapatanat... Ridica 1 la orice putere - chiar la googolplex (10^(10^100)) - rezultatul tot 1 va fi. Este primul si al doilea numar din sirul lui Fibonacci. Nu e nici numar compus, nici numar prim (matematicienii au respins aceasta idee pentru ca induce complicatii in teoremele fundamentale ale aritmeticii). Reprezinta, alaturi de -1, o unitate. Si e singurul numar pozitiv divizibil cu exact un numar pozitiv.

i

Orice numar care nu exista, dar e totusi folositor, trebuie considerat cool. Numit si unitate imaginara, i este radacina patrata a lui -1. Deci i^2 = -1. i nu exista pentru ca niciun numar inmultit cu el insusi nu da un rezultat negativ.

La inceput, numerele imaginare au fost considerate inutile (un numar imaginar este un numar al carui patrat da un numar negativ; de ex.: 5i = -25). Dar iluministii "Epocii Ratiunii" - printre care Leonhard Euler, Carl Gauss si Caspar Wessel (care a folosit numerele imaginare in lucrul cu planuri complexe) - au demonstrat importanta lor in matematica si geometrie. Sunt folositoare pentru ca pot fi utilizate in aflarea radacinii patrate a unui numar real negativ.

Astazi, i este utilizat in domenii ca procesarea semnalului, teoria controlului, electro-magnetism, dinamica fluidelor, mecanica cuantica, cartografie sau analiza vibratiilor. In aceste domenii este utilizat si numarul j ce reprezinta curentul electric de camp. Numarul imaginar i apare si in diverse formule matematice, cum ar fi Formula lui Euler. Ca o paranteza, in nuvela “The Imaginary” (1942) de Isaac Asimov, excentricul psiholog Tan Porus explica comportamentul misterios al unei specii de caracatita cu ajutorul unor ecuatii ce includ numere imaginare, in incercarea de a-i descifra psihologia.

Numarul lui Graham

Pe scurt, Numarul lui Graham este cel mai mare numar cu cu adevarat folositor (ne-arbitrar), cunoscut in matematica. Dar e un numar impresionant de mare. Numit dupa Ronald Graham, reprezinta limita superioara a raspunsului la intrebarea Teoriei lui Ramsey (o ramura a matematicii ce studiaza conditiile in care apare ordinea). Prin urmare, este cel mai mare numar folosit intr-o demostratie matematica serioasa.


Numarul lui Graham provine din adunari, inmultiri si ridicari la putere ale numarului 3, duse la extrem. Prin urmare, e o putere a lui 3 foarte mare, iar numarul in sine este mut mai mare decat un googolplex. De fapt, este atat de mare, incat nu poate fi exprimat folosind notatia conventionala a puterilor, nici chiar ca putere a puterii. Atat de mare incat daca toata materia Universului ar fi transformata intr-un stilou cu cerneala gigantic nu ai reusi sa il scrii. Drept urmare, matematicienii folosesc o notatie speciala elaborata de Donald Knuth pentru a-l folosi in expresii.

Numarul lui Graham e atat de mare incat creierelor noastre le este imposibil sa-l imagineze fizic. Teoreticianul AI (Inteligenta Artificiala) Eliezer Yudkowsky il descrie in felul urmator:

Numarul lui Graham depaseste capacitatea mea de intelegere. Il pot descrie, dar nu il pot aprecia corespunzator... Sentimentul de veneratie pe care mi l-a starnit prima oara cand l-am intanit nu poate fi descris in cuvinte. Parea ca ma uit la ceva atat de mare in comparatie cu lumea pe care puteam sa mi-o imaginez in cap incat mi-a zdruncinat toate conceptiile despre Univers. Toti teologii ar trebui confruntati cu un numar ca acesta atunci cand incep sa vorbeasca despre "infinita" intelepciune a Zeilor.

Interesant si, poate, ironic, limita inferioara la raspunsul Problemei Euclidiene a lui Ramsey este modestul numar 13.

0

Numarul 0 este, poate, prea putin bagat in seama, ceea ce pare de inteles, avand in vedere ca este reprezentarea nimicului. El are, totusi, cateva functionalitati esentiale, printre care faptul ca reprezinta spatiul gol ca valoare in uzitatul sistem numeric decimal. Cum am putea exprima anul 1901 in sistem decimal fara 0?

Desigur, daca imparti la 0, Universul va face implozie, dar numarul 0 are un rol esential in ecuatii, inclusiv cele ce folosesc adunarea, inmultirea sau scaderea. Orice numar la puterea 0 da ca rezultat 1. Iar 0 la orice putere va fi tot 0. Dar daca incerci sa ridici 0 la puterea 0 (0^0), matematica o ia razna din nou, iar raspunsul este o forma nedeterminata.

Suma a 0 numere va fi 0, dar produsul a 0 numere este 1. 0 nu este nici pozitiv, nici negativ. Nu este numar prim si nu poate fi o unitate. Dar este numar par.

e

Da, exista un numar notat e. Se mai numeste si Numarul lui Euler. La fel ca si π, este o importanta constanta matematica, un numar irational care arata asa:

e = 2.71828182845904523536...

Numit dupa Leonhard Euler (1707-1783), este baza Algoritmilor Naturali ai lui Napier - logaritmi in baza e, unde e este un numar irational non-algebric (o asa-numita constanta transcedentala, ca si π). I se mai spune si baza naturala. Euler a enuntat urmatoarea formula pentru calculul lui e:

e = 1+ 1/1 + 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

sau:

e = 1 + 1/1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + . . .

Matematicienii au calculat valoarea lui e pana la trilioane de zecimale.

Euler a devenit interesat de acest numar cand a incercat sa calculeze valoarea dobanzii acumulate pentru o anumita suma de bani. De fapt, constanta e reprezinta limita dobanzii acumulate. Prin urmare, daca investesti $1 la o rata a dobanzii de 100% pe an si daca dobanda se acumuleaza constant, vei avea (in jur de) $2.71828

e mai apare si in Teoria Probabilitatilor sau Experimentul lui Bernoulli ce ajuta, printre altele, la calcularea probabilitatilor in jocurile de noroc. Alte aplicatii sunt rezolvarea Problemei Palariilor, calculul asimptotelor (ce studiaza comportamentul limitelor, un concept folosit in Informatica) si in analiza matematica.

τ (Tau)

τ sau, mai simplu, 2π, este constanta egala cu circumferinta cercului supra raza cercului.

τ = 6.283185...

Este a 19-a litera a alfabetului grecesc si a fost aleasa ca simbol pentru 2pi de catre Michael Hartl, matematician, fizician si autor al "The Tau Manifesto", impreuna cu Peter Harremoës, un teoretician danez al informatiei (Stiinte Politice).

Este considerat de unii ca fiind mult mai util decat pi in masurarea cercurilor, din cauza faptului ca matematicienii folosesc mai degraba radiani decat grade. Potrivit lui Kevin Houston de la Universitatea din Leeds, cel mai convingator argument pentru utilizarea lui τ este faptul ca e un numar mult mai usor de folosit in domenii matematice cum ar fi geometria, trigonometria si chiar analiza matematica avansata.

Acestea fiind spuse, bineinteles ca Ziua Internationala τ este: 6/28.

φ (Phi)

Numit si "Numarul de Aur", φ este si el un numar important.

φ = 1.6180339887...

Spre diferenta de pi, care este un numar transcedental, phi reprezinta solutia ecuatiei patratice. Dar, ca si pi, phi este un numar fractional dat de o constructie geometrica. Doua numere se afla in "Raport de Aur" daca raportul dintre suma lor si cel mai mare dintre ele este egal cu raportul dintre numarul mai mare si cel mic. Din cauza proprietatilor sale unice, phi este folosit in matematica, arte sau arhitectura. A fost descoperit de vechii Greci, iar pentru artistii Renasterii reprezenta "Proportia Divina".

Phi prezinta echivalente interesante cand introducem si numarul 1, cum ar fi: φ:1 este egal cu φ+1:f sau 1:φ-1. Deasemenea, impartirea a doua numere succesive din sirul lui Fibonacci are ca rezultat un numar apropiat de φ. Cu cat inaintam in serie, cu atat obtinem un numar mai apropiat de φ.